Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות אם מכל מצב ( ניתן להגיע בזמן סופי כלשהו לכל מצב,( אז המערכת קונטרולבילית H מבחנים לאובזרוביליות וקונטרולביליות : מגדירים את מטריצת הקונט' S למימדים!! n S B AB... A B והאובז' (שימו לב [ ] C CA H CA CA n אם S מדרגה מלאה (n אז המערכת קונטרולבילית אם H מדרגה מלאה (n אז המערכת אובזרובילית דוגמא: u + u 33 3 AB 4, A B 4 8 3 3 3 3 3 44 S 4 8 SS 84 88 3 3 44 88 74 n m n. S, מתקיים נשתמש בעובדה ש SS rank( S rank( עבור מטריצה m SS rank ( S rank( SS 3 de( והמערכת קונטרולבילית. גרמיאן האובזרוביליות: Aτ Aτ V ( ( e C Ce W Aτ Aτ C ( e BB ( e גרמיאן הקונטרולביליות:. > אם המערכות הן קונט' או אובז' אז מובטח שהגרמיאן המתאים אינו סינגולארי לכל
. ( גרמיאן הקונטרולביליות מאפשר למצוא בקר המביא את המערכת ממצב ( למצב בזמן u( B + 3u ( e A W C ( [ ( e A ( ] נראה דוגמא מספרית סקלרית: עבור מערכת מרחב מצב מממד אחד: מצא בקר המביא את המערכת ממצב ( למצב 3 ( בפרק זמן נבדוק קונטרולביליות 3 B. המערכת קונט' וניתן להשתמש בגרמיאן. כלשהו. τ τ WC ( e 9e 9 e u( 4τ 9 ( e 4 3e ( 3e, 4 4 4 9( e, הזמן שבו אנו מעוניינים להביא את המצב למצב הסופי, קטן יותר, כך נחשב את הבקר: כעת נשים לב שככל ש W C קטן יותר, והערכים של ( u גדולים יותר. כלומר במובן מסויים ככל שאנו מעוניינים להגיע מהר יותר ליעד הסופי, כך צריך להשקיע יותר אנרגיה בעירור החיצוני. נציין כעת שקונטרולביליות אינה תנאי הכרחי להגעה ממצב אחד למצב אחר. ברור שלמעט המערכת המנוונת: + u שיכולה אך ורק להשאר באותו מצב התחלתי, בכל מערכת אחרת המצב משתנה לכל, ללא קשר לקונטרולביליות- המערכת עוברת ממצב כלשהו למצב כלשהו. תכונת הקונטרולביליות רק מבטיחה שניתן להגיע מכל מצב לכל מצב, ובתוספת הגרמיאן- מבטיחה שניתן גם לחשב כיצד מחליפים מצבים. הדבר נכון גם לגבי אובזרווביליות אם מערכת איננה אובזרובילית אין הדבר אומר שלא ניתן לשחזר אף תנאי התחלה. לדוגמא: נתונה המערכת: A + Bu, A,, [ ] B C y C א בדוק האם המערכת אובזרובילית ב רשום פתרון כללי למערכת עבור כניסה ג בדוק האם ניתן לשחזר את תנאי ההתחלה אם ידוע שהוא מהצורה (a ( a ( a a בדוק האם ניתן לשחזר את תנאי ההתחלה אם ידוע שהוא מהצורה ד חזור על סעיפים ג' וד' עבור כניסה שונה מאפס ה H C, rankh CA פתרון: א המערכת אינה אובזרובילית: ב עבור כניסה, הפתרון נתון על ידי e A
A e + e e e e e e e e + ( ( (( e + e + (( e e ( ( (( e e + (( e + e y ( e + ( e y a e בתרגול 4 כבר הראינו ש ג כעת ניתן לראות שעבור תנאי ההתחלה המצב, ועבור תנאי התחלה (a ( a במוצא מופיע, ולא ניתן לשחזר את ( המצב ההתחלתי ניתן לחישוב על ידי: a a y Ce A y y Ce A( τ ( + Ce Bu( τ עבור כניסה שונה מאפס, הפתרון נתון על ידי נשים לב שהאיבר שנוסף עקב הכניסה ניתן לחישוב לכל, ללא קשר לאובזרוביליות או אי אובזרוביליות. לכן תמיד ניתן לחשב מתוך y את A( τ Bu( τ Ce A ( וכבר הראינו שאת המצב ניתן לשחזר עבור סעיף ד' אך לא עבור סעיף ג'. A k k' M s שאלה האם המערכת מתרגול 3, עבור נחשב את מטריצת הקונטרולביליות: וללא חיכוך, קונטרולבילית? באילו תנאים?, B 3 [ ] S BABA BA B AB A B k k k k' k' k' k k 3 k' k' AB S k k k k' k' k '
ה 'k. k, נשים לב ששני התנאים מבחינה פיזיקלית מתקיימים תמיד, דרגת S היא 4 עבור כל k M היות ו > k. 'k אבל ככל שקבוע הקפיץ יהיה יותר קטן כך המערכת "תשאף" להיות בלתי M + קונטרולבילית. שאלה n, נתונה התכונה הבאה: לגבי המערכת A + Bu שניתן להגיע אליו מכל מצב התחלתי בכל פרק זמן. כלומר לכל קיים מצב שנסמנו למצוא חוק בקרה המביא את המערכת מ ל. ניתן האם תכונה זו שקולה לקונטרולביליות? n, ניתן למצוא חוק בקרה המביא את המערכת תזכורת: מערכת קונטרולבילית אם לכל למצב הספציפי. כאן לעומת זאת נתון שאפשר להביא את המערכת מכל מצב למצב ממצב. עם זאת התכונה אכן שקולה. נראה זאת:. כוון - קונטרולביליות גוררת את קיום התכונה הנ"ל: אם המערכת קונטרולבילית אז בפרט ניתן להביא אותה מכל מצב ל (, על ידי נקבע כוון - התכונה הנ"ל גוררת את תכונת הקונטרולביליות: u ( פרק זמן כלשהו, אז לפי התכונה קיים חוק בקרה מצב כלשהו ו יהי המביא את המערכת למצב בפרק זמן כלומר u מקיים את המשוואה : ( A A( τ +. מאחר ואת e e u ( τ u ( מקיים את המשוואה: A ( τ A e u( τ e ועל ידי העברת אגפים,, ופרק זמן כלשהו כעת נבחר זוג מצבים כלשהם ונסמנם ב 3 כרצוננו, נתייחס אליו כנעלם ונרשום את המשוואה: אנו יכולים לקבוע A A 3 e e A A e 3+ e consans M y consan. A למשוואה זו תמיד יש פתרון מאחר ו e A A, e + e נקבע את להיות הפיכה לכל אם ונמצא בקר כך בשלב זה נקבע את להיות u שיביא את המערכת מ (, u ( מקיים את המשוואה:. אז בזמן ל ( ( 3 A A ( e ( 3+ e
A A( τ e + e u( τ A A A A( τ ( ( 3+ + A A( τ 3+ e + e u( τ e e e e u ( τ A A( τ 3 + e e u ( τ u ( או: כלומר הוא הבקר הרצוי והמערכת קונטרולבילית.